tìm số phức z thỏa mãn điều kiện

• Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức) * Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép biến đổi để giải quyết bài toán. ° Ví dụ 1: Tìm số phức z thoả mãn. a) b) ° Lời giải: a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức W = 1 + 2z + z2 có giá trị là:A. 10. B. -10.C. 100.D. -100. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức W = 1 + 2z + z2 có giá trị là:A. 10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để giải quyết các bài toán này nhé! 1. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng. Cho số phức z = x + yi z = x+yi với M (x; y) M (x;y) là điểm biểu diễn số phức z z và z z thỏa mãn một điều kiện K K cho trước nào đó. Nếu ta biến Tìm số phức z = z1.z2. A. z = 1. B. z = 3 - i. C. z = -1 + i. D. z = -2 + i. Xem đáp án » 18/06/2019 9,537. Cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i . Tìm điều kiện giữa a; b; a'; b' để z + z' là một số thuần ảo. Xem đáp án » 18/06/2019 7,351. 31/12/21. Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: ( 1 + 2 i) z + z ― = i. Tìm số phức z. A. z = 1 + 2 i. B. z = 1 2 − 1 2 i. C. z = 2 − i. D. z = 1 2 + 1 2 i. Lời giải. T. materi ips kelas 6 sd semester 1. Chuyên đề tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 42 của đề tham khảo môn Toán 2021. TÌM SỐ PHỨC THỎA NHIỀU ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Số phức là một biểu thức dạng $a + bi$, trong đó $a,{\rm{ }}b$ là các số thực và số $i$ thỏa mãn ${i^2} = – 1$. Kí hiệu $z = a + bi.$ $i$ đơn vị ảo, $a$ phần thực, $b$ phần ảo. Chú ý * $z = a + 0i = a$ được gọi là số thực $a \in \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ * $z = 0 + bi = bi$ được gọi là số ảo hay số thuần ảo * $0 = 0 + 0i$ vừa là số thực vừa là số ảo 2. Biểu diễn hình học của số phức. * $M\left {a;b} \right$ biểu diễn cho số phức $z \Leftrightarrow z = a + bi$ 3. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ $z = z’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b = b’\end{array} \right.$ 4. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ $z + z’ = \left {a + a’} \right + \left {b + b’} \righti$ $z – z’ = \left {a – a’} \right + \left {b – b’} \righti$ 5. Nhân hai số phức. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ $\begin{array}{l} = \left {aa’ – bb’} \right + \left {ab’ + a’b} \righti\\ka + bi = ka + kbi\,\,k \in \mathbb{R}\end{array}$ 6. Môđun của số phức $z = a + bi$  Số thực $\left z \right = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \left {\overrightarrow {OM} } \right$ gọi là môdul của số phức $z = a + bi.$  $\left z \right = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {z\bar z} = \left {\overrightarrow {OM} } \right$ với $M\left {a;b} \right$ là điểm biểu diễn số phức $z.$  $\left z \right \ge 0,\;\forall z \in C\;,\,\,\left z \right = 0 \Leftrightarrow z = 0$.  $\left { \right = \left z \right.\left {z’} \right$;  $\left {\frac{z}{{z’}}} \right = \frac{{\left z \right}}{{\left {z’} \right}}$; $\left {\left z \right – \left {z’} \right} \right \le \left {z \pm z’} \right \le \left z \right + \left {z’} \right$. 7. Số phức liên hợp của số phức $z = a + bi$ là $z’ = a’ + b’i$ * $\overline{\overline z} = z$ * $\overline {z \pm z’} = \overline z + \overline {z’} $ * $\left {\overline z } \right = \left z \right$ * $\overline { = \overline z .\overline {z’} $ * $z + z’ = 2a$ * $\overline {\left {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right} = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}$ * $z.\overline z = {a^2} + {b^2} = {\left z \right^2}$ 8. Chia hai số phức. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ Thương của $z’$ chia cho$z\left {z \ne 0} \right$ $\frac{{z’}}{z} = \frac{{z’\overline z }}{{z\overline z }} = \frac{{z’\overline z }}{{{{\left z \right}^2}}} = \frac{{aa’ + bb’}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ab’ – a’b}}{{{a^2} + {b^2}}}i$ 9. Căn bậc hai của số phức. $w = x + yi$ là căn bậc hai của số phức $z = a + bi$ khi và chỉ khi ${w^2} = z$ $\left\{ \begin{array}{c}{x^2} – {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$. Số $0$ có một căn bậc hai là số $w = 0.$ Số $z \ne 0$ có hai căn bậc hai đối nhau là $w$ và $–{\rm{ }}w.$ Hai căn bậc hai của số thực $a > 0\;$ là $ \pm \sqrt a $. Hai căn bậc hai của số thực $a 0$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức ${x_{1,}}_2 = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$ II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI Mức độ 2 Câu 1. Biết $z = a + bi$ $\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ là số phức thỏa mãn $\left {3 – 2i} \rightz – 2i\overline z = 15 – 8i$. Tổng $a + b$ là A. $a + b = 5$. B. $a + b = – 1$. C. $a + b = 9$. D. $a + b = 1$. Lời giải Chọn A Ta có $z = a + bi$$ \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo đề bài ta có $\left {3 – 2i} \rightz – 2i\overline z = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow \left {3 – 2i} \right\left {a + bi} \right – 2i\left {a – bi} \right = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow 3a – \left {4a – 3b} \righti = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = 15\\4a – 3b = 8\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.$. Vậy $a + b = 9$. Câu 2. Cho số phức $z = a + bi$ trong đó $a$, $b$ là các số thực thỏa mãn $3z – \left {4 + 5i} \right\overline z = – 17 + 11i$. Tính $ab$. A. $ab = 6$. B. $ab = – 3$. C. $ab = 3$. D. $ab = – 6$. Lời giải Chọn A Ta có $z = a + bi$ $ \Rightarrow \overline z = a – bi$. Khi đó $3z – \left {4 + 5i} \right\overline z = – 17 + 11i \Leftrightarrow 3\left {a + bi} \right – \left {4 + 5i} \right\left {a – bi} \right = – 17 + 11i$ $ \Leftrightarrow \left { – a – 5b} \right – \left {5a – 7b} \righti = – 17 + 11i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – a – 5b = – 17\\ – 5a + 7b = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + 3i$. Vậy $ab = 6$. Câu 3. Cho hai số phức $z = \left {a – 2b} \right – \left {a – b} \righti$ và $w = 1 – 2i$. Biết $z = Tính $S = a + b$. A. $S = – 7$. B. $S = – 4$. C. $S = – 3$. D. $S = 7$. Lời giải Chọn A Ta có $z = \left {a – 2b} \right – \left {a – b} \righti$$ = \left {1 – 2i} \right.i$$ = 2 + i$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a – 2b = 2}\\{ – a + b = 1}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = – 4}\\{b = – 3}\end{array}} \right.$. Vậy $S = a + b$$ = – 7$. Câu 4. Trong tất cả các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện sau $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \bar z}}{2} + 3} \right$, gọi số phức $z = a + b{\rm{i}}$ là số phức có môđun nhỏ nhất. Tính $S = 2a + b$. A. $0$. B. $ – 4$. C. $2$. D. $ – 2$ Lời giải Chọn C Ta có $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \bar z}}{2} + 3} \right$$ \Leftrightarrow \left {\left {a + 1} \right + b{\rm{i}}} \right = \left {a + 3} \right$$ \Leftrightarrow {\left {a + 1} \right^2} + {b^2} = {\left {a + 3} \right^2}$$ \Leftrightarrow {b^2} = 4a + 8$. Do đó ${\left z \right^2} = {a^2} + {b^2}$$ = {a^2} + 4a + 8$$ = {\left {a + 1} \right^2} + 4 \ge 4$. $\min \left z \right = 2$ khi và chỉ khi $z = – 1 + 4{\rm{i}}$. Suy ra $S = 2a + b = 2$ Câu 5. Cho số phức $z = a + bi$ $\left {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$. Tính $S = a + 3b$. A. $S = \frac{7}{3}$. B. $S = – 5$. C. $S = 5$. D. $S = – \frac{7}{3}$. Lời giải Chọn B Ta có $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$$ \Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – i\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0$ $ \Leftrightarrow a + 1 + \left {b + 3 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \righti = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b + 3 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\\left\{ \begin{array}{l}b \ge – 3\\{\left {b + 3} \right^2} = 1 + {b^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = – \frac{4}{3}\end{array} \right.$$ \Rightarrow S = – 5$. Câu 6. Cho số phức $z = a + bi\,\left {a,\,b \in \mathbb{Z}} \right$ thỏa mãn $\left {z + 2 + 5i} \right = 5$ và $z.\bar z = 82$. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b$. A. $10$. B. $ – 8$. C. $ – 35$. D. $ – 7$. Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left {a + 2} \right}^2} + {{\left {b + 5} \right}^2}} = 5\\{a^2} + {b^2} = 82\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ – 5b – 43}}{2}\,\,\,\left 1 \right\\{a^2} + {b^2} = 82\,\,\,\,\,\left 2 \right\end{array} \right.$ Thay $\left 1 \right$ vào $\left 2 \right$ ta được $29{b^2} + 430b + 1521 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = – 9\\b = \frac{{ – 169}}{{29}}\end{array} \right.$ Vì $b \in \mathbb{Z}$ nên $b = – 9 \Rightarrow a = 1$. Do đó $P = a + b = – 8$. Câu 7. Cho số phức $z = a + bi$ $\left {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$. Tính $S = a + 3b$. A. $S = \frac{7}{3}$. B. $S = – 5$. C. $S = 5$. D. $S = – \frac{7}{3}$. Lời giải Chọn B Ta có $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$$ \Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – i\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0$ $ \Leftrightarrow a + 1 + \left {b + 3 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \righti = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b + 3 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\\left\{ \begin{array}{l}b \ge – 3\\{\left {b + 3} \right^2} = 1 + {b^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = – \frac{4}{3}\end{array} \right.$$ \Rightarrow S = – 5$. Câu 8. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\overline z = \frac{{{{\left {1 + \sqrt 3 i} \right}^3}}}{{1 – i}}$. Tìm môđun của $\overline z + iz$. A. $4\sqrt 2 $. B. $4$. C. $8\sqrt 2 $. D. $8$. Lời giải Chọn C $\overline z = \frac{{{{\left {1 + \sqrt 3 i} \right}^3}}}{{1 – i}}$$ \Leftrightarrow \overline z = – 4 – 4i$$ \Rightarrow $$z = – 4 + 4i$ $iz = i\left { – 4 – 4i} \right = – 4 – 4i$ $\overline z + iz = – 4 – 4i + \left { – 4 – 4i} \right = – 8 – 8i$ $\left {\overline z + iz} \right = \sqrt {{{\left { – 8} \right}^2} + {{\left { – 8} \right}^2}} = 8\sqrt 2 $ Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn $\mathop z\limits^ – = \frac{{1 + 3i}}{{1 – i}}.$Tính modun của số phức ${\rm{w}} = i.\mathop z\limits^ – + z?$ A. ${\rm{w = 4}}\sqrt 2 $. B. ${\rm{w = }}\sqrt 2 $. C. ${\rm{w = 3}}\sqrt 2 $. D. ${\rm{w = 2}}\sqrt 2 $. Lời giải Chọn C Ta có $\mathop z\limits^ – = \frac{{1 + 3i}}{{1 – i}} = – 1 + 2i.$ $ \Rightarrow z = – 1 – 2i.$ $ \Rightarrow $${\rm{w}} = i. – 1 + 2i + – 1 – 2i = – 3 – 3i$. $ \Rightarrow $${\rm{w = }}\sqrt {{{ – 3}^2} + {{ – 3}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 $. Câu 10. Cho số phức $z = a + bi$, với $a,\,\,b$ là các số thực thỏa mãn $a + bi + 2i\left {a – bi} \right + 4 = i$, với $i$ là đơn vị ảo. Tìm mô đun của $\omega = 1 + z + {z^2}$. A. $\left \omega \right = \sqrt {229} $. B. $\left \omega \right = \sqrt {13} $ C. $\left \omega \right = 229$. D. $\left \omega \right = 13$. Lời giải Chọn A Ta có $a + bi + 2i\left {a – bi} \right + 4 = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = – 4\\b + 2a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 3\end{array} \right.$. Suy ra $z = 2 – 3i$ Do đó $\omega = 1 + z + {z^2} = – 2 – 15i$. Vậy $\left \omega \right = \sqrt {{{\left { – 2} \right}^2} + {{\left { – 15} \right}^2}} = \sqrt {229} $ Mức độ 3 Câu 1. Tìm số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 2} \right = \left z \right$ và $\left {z + 1} \right\left {\bar z – i} \right$ là số thực. A. $z = 1 + 2i.$ B. $z = – 1 – 2i.$ C. $z = 2 – i.$ D. $z = 1 – 2i.$ Lời giải Chọn D Gọi $z = x + iy$ với $x,y \in \mathbb{R}$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left {z – 2} \right = \left z \right\\\left {z + 1} \right\left {\bar z – i} \right \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = {x^2} + {y^2}\\\left {x + 1 + iy} \right\left {x – iy – i} \right \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = {x^2} + {y^2}\\\left {x + 1 + iy} \right\left {x – iy – i} \right \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\left { – x – 1} \right\left {y + 1} \right + xy = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2\end{array} \right.$ Câu 2. Giả sử ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $\left {\left {2 + {\rm{i}}} \right\left z \rightz – \left {1 – 2{\rm{i}}} \rightz} \right = \left {1 + 3{\rm{i}}} \right$ và $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 1$. Tính $M = \left {2{z_1} + 3{z_2}} \right$. A. $M = 19$. B. $M = 25$. C. $M = 5$. D. $M = \sqrt {19} $. Lời giải Chọn D Từ giả thiết, ta có $\left {\left {2\left z \right – 1} \right + \left {\left z \right + 2} \right{\rm{i}}} \right.\left z \right = \sqrt {10} $$ \Leftrightarrow \left[ {{{\left {2\left z \right – 1} \right}^2} + {{\left {\left z \right + 2} \right}^2}} \right].{\left z \right^2} = 10$ $ \Leftrightarrow 5{\left z \right^4} + 5{\left z \right^2} – 10 = 0$$ \Leftrightarrow \left z \right = 1$ vì $\left z \right \ge 0$. Gọi ${z_1} = {x_1} + {y_1}{\rm{i}}$ và ${z_2} = {x_2} + {y_2}{\rm{i}}$. Ta có $\left {{z_1}} \right = \left {{z_2}} \right = 1$ nên $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 = 1$. Mặt khác, $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 1$ nên ${\left {{x_1} – {x_2}} \right^2} + {\left {{y_1} – {y_2}} \right^2} = 1$. Suy ra ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = \frac{1}{2}$. Khi đó $M = \left {2{z_1} + 3{z_2}} \right$$ = \sqrt {{{\left {2{x_1} + 3{x_2}} \right}^2} + {{\left {2{y_1} + 3{y_2}} \right}^2}} $ $ = \sqrt {4\left {x_1^2 + y_1^2} \right + 9\left {y_1^2 + y_2^2} \right + 12\left {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}} \right} $ Vậy $M = \sqrt {19} $. Do đó ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} $ \Leftrightarrow $ $\frac{1}{2}{\left z \right^2} = 18$ $ \Leftrightarrow $$\left z \right = 6$. Câu 3. Gọi ${z_1}$, ${z_2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left {z – 1 + 2i} \right = 5$ và $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 8$. Tìm môđun của số phức $w = {z_1} + {z_2} – 2 + 4i$. A. $\left w \right = 6$. B. $\left w \right = 16$. C. $\left w \right = 10$. D. $\left w \right = 13$. Lời giải Chọn A Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_1}$, $B$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_2}$. Theo giả thiết ${z_1}$, ${z_2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left {z – 1 + 2i} \right = 5$ nên $A$ và $B$ thuộc đường tròn tâm $I\left {1; – 2} \right$ bán kính $r = 5$. Mặt khác $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 8 \Leftrightarrow AB = 8$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $M$ là điểm biểu diễn của số phức $\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}$ và $IM = 3$. Do đó ta có $3 = IM = \left {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2} – 1 + 2i} \right$$ \Leftrightarrow 3 = \frac{1}{2}\left {{z_1} + {z_2} – 2 + 4i} \right \Leftrightarrow \left {{z_1} + {z_2} – 2 + 4i} \right = 6$$ \Leftrightarrow \left w \right = 6$. Câu 4. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {1 + i} \rightz + \overline z $ là số thuần ảo và $\left {z – 2i} \right = 1$? A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. Vô số. Lời giải Chọn A Đặt $z = a + bi$ với $a,b \in \mathbb{R}$ ta có $\left {1 + i} \rightz + \overline z = \left {1 + i} \right\left {a + bi} \right + a – bi$$ = 2a – b + ai$. Mà $\left {1 + i} \rightz + \overline z $ là số thuần ảo nên $2a – b = 0$$ \Leftrightarrow b = 2a$. Mặt khác $\left {z – 2i} \right = 1$ nên ${a^2} + {\left {b – 2} \right^2} = 1$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {\left {2a – 2} \right^2} = 1$ $ \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b = 2\\a = \frac{3}{5} \Rightarrow b = \frac{6}{5}\end{array} \right.$. Vậy có $2$ số phức thỏa yêu cầu bài toán. Câu 5. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z + 1 – 3i} \right = 3\sqrt 2 $ và ${\left {z + 2i} \right^2}$ là số thuần ảo? A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$. Lời giải Chọn C Gọi $z = x + yi\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$, khi đó $\left {z + 1 – 3i} \right = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left {x + 1} \right^2} + {\left {y – 3} \right^2} = 18\,\,\,\,\left 1 \right$. ${\left {z + 2i} \right^2} = {\left[ {x + \left {y + 2} \righti} \right]^2} = {x^2} – {\left {y + 2} \right^2} + 2x\left {y + 2} \righti$. Theo giả thiết ta có ${x^2} – {\left {y + 2} \right^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + 2\\x = – \left {y + 2} \right\end{array} \right.$. Trường hợp 1 $x = y + 2$ thay vào $\left 1 \right$ ta được phương trình $2{y^2} = 0$ và giải ra nghiệm $y = 0$, ta được $1$ số phức ${z_1} = 2$. Trường hợp 2 $x = – \left {y + 2} \right$ thay vào $\left 1 \right$ ta được phương trình $2{y^2} – 4y – 8 = 0$ và giải ra ta được $\left[ \begin{array}{l}y = 1 + \sqrt 5 \\y = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.$, ta được $2$ số phức $\left[ \begin{array}{l}{z_2} = – 3 – \sqrt 5 + \left {1 + \sqrt 5 } \righti\\{z_3} = – 3 + \sqrt 5 + \left {1 – \sqrt 5 } \righti\end{array} \right.$. Vậy có $3$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${\left {z – 1} \right^2} + \left {z – \overline z } \righti + \left {z + \overline z } \right{i^{2019}} = 1$? A. 4 B. C. 1 D. 3 Lời giải Chọn D Gọi $z = a + bi$; $\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$$ \Rightarrow \overline z = a – bi$. Ta có ${\left {z – 1} \right^2} = {\left {a + bi – 1} \right^2} = {\left {a – 1} \right^2} + {b^2}$, $\left {z – \overline z } \righti = \left {a + bi – a + bi} \righti = \sqrt {{{\left {2b} \right}^2}} i = 2\left b \righti$, ${i^{2019}} = – i$, $\left {z + \overline z } \right{i^{2019}} = – i\left {a + bi + a – bi} \right = – 2ai$. Suy ra phương trình đã cho tương đương với ${\left {a – 1} \right^2} + {b^2} + 2\left b \righti – 2ai = 1$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {a – 1} \right^2} + {b^2} = 1\\2\left b \right – 2a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – 2a + {b^2} = 0\\a = \left b \right\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left b \right^2} – 2\left b \right = 0\\a = \left b \right\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left b \right = 0\\\left b \right = 1\end{array} \right.\\a = \left b \right\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = – 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$ Vậy có 3 số phức $z$thỏa mãn. Câu 7. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${\left z \right^2} = \left {z + \overline z } \right + \left {z – \overline z } \right$ và ${z^2}$ là số thuần ảo A. $4$ B. $2$ C. $3$ D. $5$ Lời giải Gọi số phức $z = a + bi$, $a,b \in \mathbb{R}$. Ta có ${\left z \right^2} = \left {z + \overline z } \right + \left {z – \overline z } \right \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = \left {2a} \right + \left {2bi} \right$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left a \right + 2\left b \right\,\,\left 1 \right$. Lại có ${z^2} = {\left {a + bi} \right^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi$ là số thuần ảo, suy ra ${a^2} – {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = \pm b$ Trường hợp 1 $a = b$ thay vào $\left 1 \right$ ta được $ \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left a \right \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left a \right = 0\\\left a \right = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\a = b = \pm 2\end{array} \right.$. Trường hợp 2 $a = – b$ thay vào $\left 1 \right$ ta được $ \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left a \right \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left a \right = 0\\\left a \right = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \mp 2\end{array} \right.$. Vậy có $5$ số phức thỏa mãn bài toán là $z = 0$, $z = 2 \pm 2i$, $z = – 2 \pm 2i$ Câu 8. Cho số phức $z = a + b{\rm{i}}$ $\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn các điều kiện $z – \bar z = 4{\rm{i}}$ và $\left {z + 1 + 2{\rm{i}}} \right = 4$. Giá trị của $T = a + b$ bằng A. $3$. B. $ – 3$. C. $ – 1$. D. $1$. Lời giải Chọn D Ta có $z – \bar z = 4{\rm{i}} \Rightarrow \left {a + b{\rm{i}}} \right – \left {a – b{\rm{i}}} \right = 4{\rm{i}} \Leftrightarrow 2b = 4 \Leftrightarrow b = 2$. Mặt khác $\left {z + 1 + 2{\rm{i}}} \right = 4 \Rightarrow \left {a + 2{\rm{i}} + 1 + 2{\rm{i}}} \right = 4 \Leftrightarrow \left {\left {a + 1} \right + 4{\rm{i}}} \right = 4$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left {a + 1} \right}^2} + {4^2}} = 4 \Leftrightarrow {\left {a + 1} \right^2} = 0 \Leftrightarrow a = – 1$. Vậy $z = – 1 + 2{\rm{i}}$. Suy ra $T = a + b = – 1 + 2 = 1$. Câu 9. Cho số phức $z = a + bi,\,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn điều kiện $\frac{{{{\left z \right}^2}}}{z} + 2iz + \frac{{2\left {z + i} \right}}{{1 – i}} = 0.$ Tính tỷ số $T = \frac{a}{b}.$ A. $T = \frac{2}{5}$. B. $T = – \frac{3}{5}$. C. $T = \frac{3}{5}$. D. $T = 5$. Lời giải Chọn C Ta có $\frac{{{{\left z \right}^2}}}{z} + 2iz + \frac{{2\left {z + i} \right}}{{1 – i}} = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{z\,\bar z}}{z} + 2iz + \frac{{2\left {z + i} \right\left {1 + i} \right}}{2} = 0$$ \Leftrightarrow \bar z + 2iz + z + iz + i – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow a – bi + a + bi + 3ia + bi + i – 1 = 0$$ \Leftrightarrow \left {2a – 3b – 1} \right + \left {3a + 1} \righti = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a – 3b – 1 = 0\\3a + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{3}\\b = – \frac{5}{9}\end{array} \right.$. Vậy $T = \frac{3}{5}.$ Câu 10. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 3 + i} \right\left {1 – i} \right = {\left {1 + i} \right^{2019}}$. Khi đó số phức ${\rm{w}} = z + 1 – 2i$ có phần ảo? A. ${2^{1009}} – 1$. B. $ – 2$. C. $ – 3$. D. ${2^{1009}} – 4$. Lời giải Chọn C $\left {z – 3 + i} \right\left {1 – i} \right = {\left {1 + i} \right^{2019}} \Leftrightarrow \left {z – 3 + i} \right\left {1 – i} \right\left {1 + i} \right = {\left {1 + i} \right^{2020}}$ $ \Rightarrow z = \frac{{{{\left[ {{{\left {1 + i} \right}^2}} \right]}^{1010}}}}{{\left {1 – i} \right\left {1 + i} \right}} + 3 – i = \frac{{{{\left {2i} \right}^{1010}}}}{2} + 3 – i = \frac{{{{\left[ {{{\left {2i} \right}^2}} \right]}^{505}}}}{2} + 3 – i = \frac{{{{\left { – 4} \right}^{505}}}}{2} + 3 – i = – {2^{1009}} + 3 – i$. Vậy ${\rm{w}} = z + 1 – 2i = – {2^{1009}} + 3 – i + 1 – 2i = – {2^{1009}} – 3i + 4$ Do đó phần ảo của số phức phải tìm là -3 . Câu 11. Cho số phức $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn $\left {\overline z – 2 + 3i} \right = \sqrt 5 $ và $z$ có phần thực lớn hơn phần ảo $2$ đơn vị. Tính $S = a + b$. A. $S = 2$ và $S = 6$. B. $S = 4$ và $S = 3$. C. $S = 4$ và $S = 6$. D. $S = – 2$ và $S = 4$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left {\overline z – 2 + 3i} \right = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {a – bi – 2 + 3i} \right = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left {a – 2} \right}^2} + {{\left {3 – b} \right}^2}} = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} + {\left {3 – b} \right^2} = 5\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{b^2} – 6b + 4 = 0\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 2\end{array} \right.\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$. Vậy $S = 3 + 1 = 4$ và $S = 4 + 2 = 6$. Câu 12. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 1 + 2i} \right = \left {\bar z + 4 – i} \right$ và $\left {z – 2} \right = \sqrt {10} $? A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. $3$. Lời giải Chọn A Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left {z – 1 + 2i} \right = \left {\overline z + 4 – i} \right\\\left {z – 2} \right = \sqrt {10} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {a + bi – 1 + 2i} \right = \left {a – bi + 4 – i} \right\\\left {a + bi – 2} \right = \sqrt {10} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {a – 1} \right^2} + {\left {b + 2} \right^2} = {\left {a + 4} \right^2} + {\left[ { – \left {b + 1} \right} \right]^2}\\{\left {a – 2} \right^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 10a + 2b = 12\\{\left {a – 2} \right^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\{\left {a – 2} \right^2} + {\left {6 + 5a} \right^2} = 10\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\26{a^2} + 56a + 30 = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\\left[ \begin{array}{l}a = – 1\\a = – \frac{{15}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{{15}}{{13}}\\b = \frac{3}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.$ Vậy có 2 số phức $z$ thỏa đề $z = – 1 + i$ và $z = – \frac{{15}}{{13}} + \frac{3}{{13}}i$. Câu 13. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $\left {z + 3i} \right = \left {z + 2 – i} \right.$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. $z = 1 – 2i$. B. $z = – \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$. C. $z = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i$. D. $z = – 1 + 2i$. Lời giải Chọn C Giả sử $z = x + yi\,\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$ $\left {z + 3i} \right = \left {z + 2 – i} \right \Leftrightarrow \left {x + \left {y + 3} \righti} \right = \left {\left {x + 2} \right + \left {y – 1} \righti} \right \Leftrightarrow {x^2} + {\left {y + 3} \right^2} = {\left {x + 2} \right^2} + {\left {y – 1} \right^2}$ $ \Leftrightarrow 6y + 9 = 4x + 4 – 2y + 1 \Leftrightarrow 4x – 8y – 4 = 0 \Leftrightarrow x – 2y – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2y + 1$ $\left z \right = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left {2y + 1} \right}^2} + {y^2}} = \sqrt {5{y^2} + 4y + 1} = \sqrt {5{{\left {y + \frac{2}{5}} \right}^2} + \frac{1}{5}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{5}$ Suy ra ${\left z \right_{\min }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$ khi $y = – \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{5}$ Vậy $z = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i.$ Câu 14. Có bao nhiêu số phức $z$ có phần thực khác $0$, thỏa mãn $\left {z – \left {3 + i} \right} \right = 5$ và $z.\overline z = 25$? A. $3$. B. $2$. C. $0$. D. $1$. Lời giải Chọn D Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Điều kiện $a \ne 0$. Theo giả thiết, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left {z – \left {3 + i} \right} \right = 5\\z.\overline z = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {a + bi – 3 – i} \right = 5\\\left {a + bi} \right\left {a – bi} \right = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left {a – 3} \right}^2} + {{\left {b – 1} \right}^2}} = 5\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} – 6a – 2b = 15\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 – 6a – 2b = 15\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 – 3a – b = 0\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 – 3a\\{a^2} + {\left {5 – 3a} \right^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 – 3a\\10{a^2} – 30a = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 5\\a = 0l\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = – 4\\a = 3n\end{array} \right.\end{array} \right.$. Vậy có 1 số phức $z$ thỏa đề $z = 3 – 4i$. Câu 15. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 6} \right = 2\sqrt 5 $ và ${z^2}$ là số thuần ảo? A. $2$. B. $3$. C. $4$. D. $5$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – 6} \right = 2\sqrt 5 $$ \Leftrightarrow \left {a + bi – 6} \right = 2\sqrt 5 $$ \Leftrightarrow {\left {a – 6} \right^2} + {b^2} = 20$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 12a + 16 = 0$1. Mặt khác ${z^2} = {\left {a + bi} \right^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi$ là số thuần ảo nên ${a^2} – {b^2} = 0$ hay ${a^2} = {b^2}$. Thay ${b^2} = {a^2}$ vào 1, ta được $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} – 12a + 16 = 0$$ \Leftrightarrow 2{a^2} – 12a + 16 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 2\end{array} \right.$. Với $a = 4$, ta có $ \Rightarrow b = \pm 4$. Với $a = 2$, ta có $ \Rightarrow b = \pm 2$. Vậy có 4 số phức $z$ thỏa đề $z = 4 + 4i,z = 4 – 4i,z = 2 + 2i,z = 2 – 2i$. Câu 16. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 2i} \right = 1$ và $\left {1 + i} \rightz + \overline z $ là số thuần ảo? A. $4$. B. $3$. C. $2$. D. $5$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – 2i} \right = 1$$ \Leftrightarrow \left {a + bi – 2i} \right = 1$$ \Leftrightarrow {a^2} + {\left {b – 2} \right^2} = 1$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 4b + 3 = 0$1. Mặt khác $\left {1 + i} \rightz + \overline z = \left {1 + i} \right\left {a + bi} \right + a – bi$$ = a + bi + ai – b + a – bi = 2a – b + ai$ là số thuần ảo nên $2a – b = 0$ hay $b = 2a$. Thay $b = 2a$ vào 1, ta được $ \Leftrightarrow {a^2} + 4{a^2} – + 3 = 0$$ \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = \frac{3}{5}\end{array} \right.$. Với $a = 1$, ta có $b = 2$. Với $a = \frac{3}{5}$, ta có $b = \frac{6}{5}$. Vậy có 2 số phức $z$ thỏa đề $z = 1 + 2i,z = \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i$. Câu 17. Có bao nhiêu số phức $z$ có phần ảo nguyên thỏa mãn $\left {z – 1} \right = \sqrt 5 $ và $\left {z – i} \right\left {\overline z + 2} \right$ là số thực? A. $1$. B. $2$. C. $4$. D. $3$. Lời giải Chọn A Gọi $z = a + bi,\left {a \in \mathbb{R},b \in \mathbb{Z}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – 1} \right = \sqrt 5 $$ \Leftrightarrow \left {a + bi – 1} \right = \sqrt 5 $$ \Leftrightarrow {\left {a – 1} \right^2} + {b^2} = 5$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2a – 4 = 0$1. Mặt khác $\left {z – i} \right\left {\overline z + 2} \right = \left {a + bi – i} \right\left {a – bi + 2} \right = {a^2} + {b^2} + 2a – b + \left {2b – a – 2} \righti$ là số thực nên $2b – a – 2 = 0$ hay $a = 2b – 2$. Thay $a = 2b – 2$ vào 1, ta được $ \Leftrightarrow {\left {2b – 2} \right^2} + {b^2} – 2\left {2b – 2} \right – 4 = 0$$ \Leftrightarrow 5{b^2} – 12b + 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2n\\b = \frac{2}{5}\left l \right\end{array} \right.$. Với $b = 2$, ta có $a = 2$. Vậy có 1 số phức $z$ thỏa đề $z = 2 + 2i$. Câu 18. Tìm số phức liên hợp của $z$ thỏa mãn $\left {z – i} \right = \left {\overline z + 1 + 2i} \right$ và $\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}}$ là số thuần ảo? A. $\overline z = 0$. B. $\overline z = 2i$. C. $\overline z = – 2i$. D. $\overline z = 2$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – i} \right = \left {\overline z + 1 + 2i} \right$$ \Leftrightarrow \left {a + bi – i} \right = \left {a – bi + 1 + 2i} \right$$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left {b – 1} \right}^2}} = \sqrt {{{\left {a + 1} \right}^2} + {{\left {2 – b} \right}^2}} $$ \Leftrightarrow 2a – 2b + 4 = 0$$ \Leftrightarrow b = a + 2$ 1. Mặt khác $\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}} = \frac{{a + bi – 2i}}{{a – bi + i}} = \frac{{\left {a + bi – 2i} \right\left {a + bi – i} \right}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}}$ $\begin{array}{l} = \frac{{\left {a + bi – 2i} \right\left {a + bi – i} \right}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}} = \frac{{{a^2} – {b^2} + 3b – 2 + \left {2ab – 3a} \righti}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$là số thuần ảo nên $\begin{array}{l}\frac{{{a^2} – {b^2} + 3b – 2}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} + 3b – 2 = 0,2\\{a^2} + {\left {1 – b} \right^2} > 0,*\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$. Thay $b = a + 2$ ở 1 vào 2, ta được ${a^2} – {\left {a + 2} \right^2} + 3\left {a + 2} \right – 2 = 0$$ \Leftrightarrow {a^2} – \left {{a^2} + 4a + 4} \right + 3a + 6 – 2 = 0$$ \Leftrightarrow a = 0$ Với $a = 0$, ta có $b = 2$ thỏa * nên $z = 2i$. Vậy $\overline z = – 2i$. Câu 19. Có tất cả bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left z \right = \sqrt 5 $ và $\left {\frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}} \right = \frac{6}{5}$? A. $6$. B. $4$. C. $10$. D. $8$. Lời giải Chọn D Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left z \right = \sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5$ 1. Mặt khác $\left {\frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}} \right = \frac{6}{5} \Leftrightarrow \left {\frac{{{z^2} + {{\left {\overline z } \right}^2}}}{{z.\overline z }}} \right = \frac{6}{5}$$ \Leftrightarrow \left {\frac{{{{\left {a + bi} \right}^2} + {{\left {a – bi} \right}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right = \frac{6}{5}$$ \Leftrightarrow \left {2{a^2} – 2{b^2}} \right = 6$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} = 3,2\\{a^2} – {b^2} = – 3,3\end{array} \right.$ Từ 1 và 2 ta có$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = 4\end{array} \right.\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \pm 2\\b = \pm 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \pm 1\\b = \pm 2\end{array} \right.\end{array} \right.$ Vậy có tất cả 8 số phức thỏa đề. Câu 20. Cho hai số phức ${z_1}$ và ${z_2}$ thỏa mãn $\left {{z_1}} \right = 3,\left {{z_2}} \right = 4,\left {{z_1} – {z_2}} \right = \sqrt {37} $. Hỏi có bao nhiêu số phức $z$ mà $z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = x + yi$? A. $4$. B. $2$. C. $3$. D. $1$. Lời giải Chọn B Gọi ${z_1} = a + bi,{z_2} = c + di,\left {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right$. Theo giả thiết $\left {{z_1}} \right = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 9$ 1. $\left {{z_2}} \right = 4 \Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 16$ 2. $\left {{z_1} – {z_2}} \right = \sqrt {37} $$ \Leftrightarrow {\left {a – c} \right^2} + {\left {b – d} \right^2} = 37$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} – 2ac – 2bd = 37$$ \Leftrightarrow ac + bd = – 6$ Mặt khác $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{\left {a + bi} \right\left {c – di} \right}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{\left {bc – ad} \right}}{{{c^2} + {d^2}}}.i$$ = \frac{{ – 6}}{{16}} + yi = \frac{{ – 3}}{8} + yi$ Do đó $x = – \frac{3}{8}$ Hơn thế nữa $\left {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right = \frac{{\left {{z_1}} \right}}{{\left {{z_2}} \right}} = \frac{3}{4} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $$ \Leftrightarrow \frac{3}{4} = \sqrt {{{\left { – \frac{3}{8}} \right}^2} + {y^2}} $$ \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{27}}{{64}}$$ \Leftrightarrow y = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{8}$ Vậy có 2 số phức thỏa đề là $z = – \frac{3}{8} + \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i,z = – \frac{3}{8} – \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i$. Mức độ 4 Câu 1. Trong mặt phẳng phức, cho $3$ điểm $A,\;B,\;C$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${z_1} = – 1 + i,\;{z_2} = 1 + 3i,\;{z_3}$. Biết tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và ${z_3}$ có phần thực dương. Khi đó, tọa độ điểm $C$ là A. $\left {2\;;\; – 2} \right$. B. $\left {3\;;\; – 3} \right$. C. $\left {\sqrt 8 – 1\;;\;1} \right$. D. $\left {1\;;\; – 1} \right$. Lời giải Chọn D Giả sử ${z_3} = a + bi$ với $a,b \in R,\;a\; > \;0$ suy ra $C\left {a\;;\;b} \right$. Ta có $A\left { – 1\;;\;1} \right,\;B\left {1\;;\;3} \right$ $ \Rightarrow $ $\overrightarrow {AB} = \left {2\;;\;2} \right,\;\overrightarrow {AC} = \left {a + 1\;;\;b – 1} \right$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow 2\left {a + 1} \right + 2\left {b – 1} \right = 0 \Leftrightarrow a + b = 0 \Leftrightarrow b = – a\quad \left 1 \right$. Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2} \Leftrightarrow {\left {a + 1} \right^2} + {\left {b – 1} \right^2} = 8\quad 2$. Thế $\left 1 \right$ vào $\left 2 \right$ ta được ${\left {a + 1} \right^2} + {\left { – a – 1} \right^2} = 8 \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 = 4 \Leftrightarrow {a^2} + 2a – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = – 3\end{array} \right.$. Vì $a\; > \;0$ nên $a = 1 \Rightarrow b = – 1$. Vậy điểm $C$ có tọa độ là $\left {1\;;\; – 1} \right$. Câu 2. Cho số phức $z$, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức $z$;$iz$ và $z + i\;z$tạo thành một tam giác có diện tích bằng $18$. Mô đun của số phức $z$ bằng A. $2\sqrt 3 $. B. $3\sqrt 2 $. C. $6$. D. $9$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi$, $a,b \in \mathbb{R}$ nên $iz = ai – b$, $z + i\;z$$ = a + bi – b + ai$$ = a – b + \left {a + b} \righti$ Ta gọi $A\left {a,\,b} \right$, $B\left { – b,\,a} \right$, $C\left {a – b,\,a + b} \right$nên $\overrightarrow {AB} \left { – b – a,\,a – b} \right$, $\overrightarrow {AC} \left { – b,\,a} \right$ $S = \frac{1}{2}\left {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right$ $ = \frac{1}{2}\left { – {a^2} – {b^2}} \right$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left {{a^2} + {b^2}} \right = 18$$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6$. Câu 4. Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m \in S$ có đúng một số phức thỏa mãn $\left {z – m} \right = 6$ và $\frac{z}{{z – 4}}$ là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập $S$. A. $10.$ B. $0.$ C. $16.$ D. $8.$ Lời giải Chọn D Gọi $z = x + iy$ với $x,y \in \mathbb{R}$ ta có $\frac{z}{{z – 4}} = \frac{{x + iy}}{{x – 4 + iy}} = \frac{{\left {x + iy} \right\left {x – 4 – iy} \right}}{{{{\left {x – 4} \right}^2} + {y^2}}} = \frac{{x\left {x – 4} \right + {y^2} – 4iy}}{{{{\left {x – 4} \right}^2} + {y^2}}}$ là số thuần ảo khi $x\left {x – 4} \right + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = 4$ Mà $\left {z – m} \right = 6 \Leftrightarrow {\left {x – m} \right^2} + {y^2} = 36$ Ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\left {x – m} \right^2} + {y^2} = 36\\{\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {4 – 2m} \rightx = 36 – {m^2}\\{y^2} = 4 – {\left {x – 2} \right^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}}\\{y^2} = 4 – {\left {\frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2} \right^2}\end{array} \right.$ Ycbt $ \Leftrightarrow 4 – {\left {\frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2} \right^2} = 0$$ \Leftrightarrow 2 = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2$ hoặc $ – 2 = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2$ $ \Leftrightarrow m = 10$ hoặc $m = – 2$ hoặc $m = \pm 6$ Vậy tổng là $10 – 2 + 6 – 6 = 8$. Câu 5. Có bao nhiêu số phức $z$ thoả mãn $\left {z – 3i} \right = \sqrt 5 $ và $\frac{z}{{z – 4}}$ là số thuần ảo? A. 0 B. vô số. C. 2 D. 1 Lời giải Chọn C Cách 1 Ta có $\frac{z}{{z – 4}} = bi \Leftrightarrow z = biz – 4 \Leftrightarrow zbi – 1 = 4bi \Leftrightarrow z = \frac{{4bi}}{{bi – 1}}$ Khi đó $z – 3i = \left {\frac{{4bi}}{{bi – 1}} – 3i} \right = \left {\frac{{4b + 3i + 3b}}{{bi – 1}}} \right = \sqrt {\frac{{{{4b + 3}^2} + {{3b}^2}}}{{{b^2} + 1}}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow b = – 1,b = – \frac{1}{5}$ Vậy có 2 số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6. Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left {1 + 2i} \right\left z \right = \frac{{\sqrt {10} }}{z} – 2 + i.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. $\frac{3}{2} 2.$ C. $\left z \right Đáp án A. Câu 18. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left {z – 1 + 2i} \right = \sqrt 5 $ và $w = z + 1 + i$ có môđun lớn nhất. Số phức $z$ có môđun bằng A. $2\sqrt 5 $ B. $3\sqrt 2 $ C. $\sqrt 6 $ D. $5\sqrt 2 $ Lời giải Chọn B Gọi $z = x + yi\quad \left {x,y \in \mathbb{R}} \right\quad \Rightarrow z – 1 + 2i = \left {x – 1} \right + \left {y + 2} \righti$ Ta có $\left {z – 1 + 2i} \right = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left {x – 1} \right}^2} + {{\left {y + 2} \right}^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left {x – 1} \right^2} + {\left {y + 2} \right^2} = 5$ Suy ra tập hợp điểm $M\left {x;y} \right$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn $\left C \right$ tâm $I\left {1; – 2} \right$ bán kính $R = \sqrt 5 $ như hình vẽ Dễ thấy $O \in \left C \right$, $N\left { – 1; – 1} \right \in \left C \right$ Theo đề ta có $M\left {x;y} \right \in \left C \right$là điểm biểu diễn cho số phức $z$thỏa mãn $w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = \left {x + 1} \right + \left {y + 1} \righti$ $ \Rightarrow \left {z + 1 + i} \right = \sqrt {{{\left {x + 1} \right}^2} + {{\left {y + 1} \right}^2}} = \left {\overrightarrow {MN} } \right$ Suy ra $\left {z + 1 + i} \right$đạt giá trị lớn nhất $ \Leftrightarrow MN$lớn nhất Mà $M,N \in \left C \right$ nên $MN$lớn nhất khi $MN$ là đường kính đường tròn $\left C \right$ $ \Leftrightarrow I$ là trung điểm $MN \Rightarrow M\left {3; – 3} \right \Rightarrow z = 3 – 3i \Rightarrow \left z \right = \sqrt {{3^2} + {{\left { – 3} \right}^2}} = 3\sqrt 2 $ Câu 19. Cho số phức $z$ thỏa mãn Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right$, hãy tìm căn bậc hai của số phức z có môđun nhỏ nhất. A. $2$ B. $ \pm i\sqrt 2 $ C. $ – 2$ D. $\sqrt 2 $ Lời giải Chọn B Đặt $z = x + yi\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$ Khi đó $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right \Leftrightarrow \left {\left {x + 1} \right + yi} \right = \left {x + 3} \right$ $ \Leftrightarrow {\left {x + 1} \right^2} + {y^2} = {\left {x + 3} \right^2} \Leftrightarrow {y^2} = 4x + 8$ Ta có $\left z \right = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + 4x + 8} = \sqrt {{{\left {x + 2} \right}^2} + 4} \ge 2$ Dấu = xảy ra khi $x = – 2 \Rightarrow y = 0$. Vậy số phức $z = – 2$. Vậy căn bậc hai của số số phức $z = – 2$ là $ \pm i\sqrt 2 $. Câu 20. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left {\frac{{\left {1 + i} \rightz}}{{1 – i}} + 2} \right = \sqrt 3 $, gọi ${z_1}$ là số phức có số phức z có môđun nhỏ nhất và ${z_2}$ là số phức có môđun lớn nhất. Tìm số phức ${z_1} + {z_2}$. A. $\left {2 + \sqrt 3 } \righti$ B. $\left {2 + \sqrt 3 } \righti$ C. $4i$ D. $2\sqrt 3 i$ Lời giải Chọn C Đặt $z = x + yi\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$. Ta có $\left {\frac{{\left {1 + i} \rightz}}{{1 – i}} + 2} \right = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left {i\left {x + yi} \right + 2} \right = \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \left {\left {2 – y} \right + xi} \right = \sqrt 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left {y – 2} \right^2} = 3$ $ \Leftrightarrow {\left {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right^2} + {\left {\frac{{y – 2}}{{\sqrt 3 }}} \right^2} = 1$ Đặt $x = \sqrt 3 \sin \alpha ,y = 2 + \sqrt 3 \cos \alpha $ thì tìm được $\left z \right$ lớn nhất khi $z = \left {2 + \sqrt 3 } \righti$ và $\left z \right$ nhỏ nhất khi $z = \left {2 – \sqrt 3 } \righti$. Vậy ${z_1} + {z_2} = 4i$ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước là 1 dạng toán thường gặp trong chuyên đề số phức. Trong dạng toán này các số phức được cho thỏa mãn 1 phương trình bất phương trình hay hệ các bất phương trình cho trước. Nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm số phức đó. Vậy chúng ta cần làm gì khi gặp dạng toán này. Bài viết dưới đây hướng dẫn các em cách tiếp cận bài toán này từ đơn giản đến phức tạp. Các em cùng theo dõi nhé! TÌM SỐ PHỨC Z THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN LÀ PHƯƠNG TRÌNH Thông thường, nếu chúng ta thấy trong phương trình chỉ có 1 trong các đối tượng sau z, số phức liên hợp của z hoặc mô đun của z. Thì ta có thể biến đổi trực tiếp để rút gọn. Ngược lại, nếu trong phương trình chúng ta thấy có nhiều hơn 1 đối tượng kể trên. Thì ta phải giả sử z=x+yi x,y∈R. Sau đó biến đổi phương trình đã cho để tiến hành so sánh 2 số phức bằng nhau. Ví dụ 1 Tìm số phức z thỏa mãn 1-iz+3-4i=5i+2. Phân tích Trong phương trình trên thì chỉ có z, nên ta biến đổi để rút z ra là được. Các phép toán với số phức có thể dùng máy tính bỏ túi cho nhanh. Lời giải Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết Số Phức Ví dụ 2 Phân tích Trong phương trình có cả z và số phức liên hợp của z nên thông thường ta đặt z=x+yi, x,y∈R. Sau đó biến đổi để được kết quả. Lời giải Tuy nhiên, trong một số trường hợp trong phương trình có z mà ta đặt z=x+yi, x,y∈R thì ta được hệ khá phức tạp. Trong các trường hợp này nếu bài toán chỉ hỏi về mô đun. Ta có thể biến đổi phương trình sau đó lấy mô đun 2 vế. Chẳng hạn như ví dụ sau đây. Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết Số Phức Ví dụ 3 Lời giải Trên đây là 1 số ví dụ và phương pháp về tìm số phức z thỏa mãn phương trình thường gặp ở mức độ thông hiểu. Đối với các bài toán phức tạp hơn chúng ta cần vận dụng kết hợp các phương pháp trên. Chúc các em thành công! Xem thêm Bài tập số phức đầy đủ các dạng Cách bấm máy tính số phức trên CASIO 580 VNX Số Phức - Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức như thế nào ? Ứng Dụng Hệ Thức Viet Giải Bài Toán Về Số PhứcPhương Pháp Tìm Căn Bậc Hai Của Số PhứcLý Thuyết Và Các Phép Toán Cộng Trừ Nhân Chia Số PhứcGiải Phương Trình Bậc Hai PhứcGiải Phương Trình Bậc Hai Phức Với Hệ Số ThựcGiải Phương Trình Bậc Cao Số PhứcGiải Phương Trình Bậc Cao Số PhứcChuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho TrướcChuyên Đề Biểu Diễn Hình Học Của Số PhứcBài Tập Vận Dụng Cao Liên Quan Tới Số Phức Chuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước giới thiệu tới quý vị thầy cô và các em học sinh chuyên đề Chuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước. Nội dung chuyên đề giúp đánh giá năng lực học sinh sau khi kết thúc bài học. Tuyển tập đề kiểm tra, đề thi và bài tập chuyên đề toán 10 Danh sách các đề kiểm tra 15 phút toán 12 theo từng bài, kiểm tra 1 tiết 45 phút toán 12 theo từng chương, kiểm tra học kỳ 1 toán 12, kiểm tra học kỳ 2 toán 12, kiểm tra khảo sát toán 12 cả năm, các chuyên đề toán lớp 12, đề thi thử đại học, tất cả đều có lời giải chi tiết phục vụ cho công việc giảng dạy của quý thầy cô và việc tự học cảu các em học sinh, link danh sách tài liệu được để bên dưới bài viết. Dưới đây là chuyên đề Chuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước Chuyên đề Chuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước Để tải các tài liệu file word có đáp án và lời giải chi tiết quý thầy cô vui lòng liên hệ số hotline 0979263759 Call, Zalo, hoặc địa chỉ mail Nội dung chuyên đề được biên soạn bao gồm lý thuyết, bài tập ví dụ, bài tập luyện tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết, qua đó giúp các em hệ thống được kiến thức cốt lõi trong chương học và phân dạng phương pháp giải bài tập, hình thành phản xạ có thể giải quyết các dạng bài tập tương tự tiếp theo. Quý thầy cô đóng góp đề thi của trường mình cho nguồn tài liệu thêm phong phú xin gửi về địa chỉ mail Edusmart Xin chân thành cảm ơn sự đóng góp của quý thầy cô. BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 CỰC HAY CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 1 TOÁN 12 ĐỀ THI HỌC KỲ 1 TOÁN 12 CÁC TRƯỜNG THPT TRÊN TOÀN QUỐC CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 TOÁN 12 ĐỀ THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 CÁC TRƯỜNG THPT TRÊN TOÀN QUỐC CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT TOÁN 12 THEO CHỦ ĐIỂM CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 CÁC SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRÊN TOÀN QUỐC TỔNG HỢP BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 CÓ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ MŨ LŨY THỪA VÀ LOGARIT ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 3 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 1 HÌNH HỌC 12 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 2 HÌNH HỌC 12 CHUYÊN ĐỀ NÓN TRỤ CẦU ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 12 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC OXYZ Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất hoặc tìm số phức z có môđun lớn nhất thỏa mãn điều kiện cho trước là một trong các dạng toán cực trị số phức. Theo đó giả thiết thường cho số phức z thỏa mãn 1 phương trình hay bất phương trình. Và yêu cầu chúng ta tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của mô đun z. Đối với dạng toán này chúng ta có 2 gợi ý về phương pháp giải. Đó là sử dụng phương pháp hình học hoặc phương pháp đại số để giải quyết. Trong bài viết này tôi sẽ hướng dẫn các bạn cách sử dụng hai phương pháp đó. Cùng theo dõi bào viết nhé! I. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC TÌM SỐ PHỨC Z CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT HOẶC LỚN NHẤT Như chúng ta đã biết mô đun của số phức z chính là khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z là Mz đến gốc tọa độ. Vì vậy để sử dụng phương pháp hình học chúng ta cần xác định được quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z. Có thể sẽ là đường tròn, hình tròn, đường thẳng, đoạn thẳng, Elip… Sau đó ta tìm điểm biểu diễn z sao cho khoảng cách tới gốc tọa độ ngắn nhất hoặc dài nhất. Ví dụ minh họa Trong các số phức z thỏa mãn z-1+2i=3. Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất. Lời giải Như ta đã biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z-a+bi=r là đường tròn C tâm Ia;b, bán kính r. Do đó điểm biểu diễn z gần gốc tọa độ hơn chính là 1 trong hai giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn C. Từ đó ta có lời giải của bài toán. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn C tâm I1;2 bán kính r=3. Dễ thấy phương trình đường thẳng OI là y=2x. Phương trình đường tròn C là x-1²+y-2²=9. Từ đó ta có hệ phương trình Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết Số Phức II. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ TÌM SỐ PHỨC Z CÓ MÔĐUΝ NHỎ NHẤT HOẶC LỚN NHẤT Đối với phương pháp đại số chúng ta có thể giả sử z=a+bi a,b∈R chúng ta thay vào giả thiết và sử dụng bất đẳng thức để giải. Hoặc chúng ta có thể sử dụng các bất đẳng thức mô đun để đánh giá. Để sử dụng bất đẳng thức mô đun, mời các bạn tra cứu tại link dưới đây. Xem thêm Mô đun và một số bất đẳng thức mô đun số phức. Ví dụ minh họa Để tiện cho các bạn so sánh 2 phương pháp tôi sẽ sử dụng lại ví dụ bên trên. Trong các số phức z thỏa mãn z-1+2i=3. Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất. Lời giải Ta có Như vậy đối với ví dụ này chắc hẳn các bạn đã thấy được ưu điểm nhược điểm của từng phương pháp rồi. Vì cực trị số phức đa dạng và phức tạp hơn nên trong quá trình giải toán chúng ta nên tùy cơ ứng biến. Đôi khi ta có thể kết hợp cả hai phương pháp để có một lời giải nhanh hơn. Chúc các bạn thành công! Xem thêm Tìm giá trị min max số phức z như thế nào? Giải phương trình số phức như thế nào? Số Phức - Modun số phức và các tính chất liên quan Cách bấm máy tính số phức trên CASIO 580 VNX Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng Phép chia số phức thực hiện như thế nào ? Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức như thế nào ? Đáp án A Căn cứ vào Atlat Địa lý Việt Nam trang 21, khu vực tập trung công nghiệp vào loại cao nhất nước ta Đồng bằng sông Hồng và vùng phụ cận. Câu hỏi Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện \\dpi{100} \left {z - 2 - 4i} \right = \left {z - 2i} \right,\ tìm số phức z có môdun nhỏ nhất. A. \z = - 1 + i\ B. \z = - 2 + 2i\ C. \z = 2 + 2i\ D. \z = 3 + 2i\ Đáp án đúng CĐặt \z = x + yi\left {x,y \in \mathbb{R}} \right,\ khi đó \\left {z - 2 - 4i} \right = \left {z - 2i} \right \Leftrightarrow \left {x - 2 + \left {y - 4} \righti} \right = \left {x + \left {y - 2} \righti} \right\ \\Rightarrow \sqrt {{{\left {x - 2} \right}^2} + {{\left {y - 4} \right}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left {y - 2} \right}^2}}\ \\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20 = {x^2} + {y^2} - 4y + 4 \Leftrightarrow x + y = 4\ Mặt khác \\left z \right = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left {4 - x} \right}^2}} = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16}\ \= \sqrt {2{{\left {x - 2} \right}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \Rightarrow {\left z \right_{\min }} = 2\sqrt 2\ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \x = y = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i\. CÂU HỎI KHÁC VỀ MÔĐUN VÀ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z thỏa mãn z-1/z+1 = 1 tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Cho ba số phức {z_1},{z_2},{z_3} thỏa mãn {z_1} + {z_2} + {z_3} = 0 {z_1} = {z_2} = {z_3} = 1 Cho số phức z thỏa mãn 2 - iz = 7 - i hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình dưới? Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z tìm phần thực và phần ảo của số phức z Cho số phức z thỏa mãn z Tập hợp tất cả các điểm biểu diển số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn z-i=1 là một đường tròn Kí hiệu {z_1},{z_2} qui ước z_1 là số phức có phần ảo lớn hơn là nghiệm của hệ phương trình ngang=1; z^2+2z ngang-1=sqrt8/27 Cho số phức z = 6 + 7i. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng phức Tìm số phức z biết z= 5 và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị Tập hợp điểm biểu diễn số phức z-2i = 3 là đường tròn tâm I. Tìm tất cả giá trị thực của m thỏa khoảng cách từ I đến đường thẳng d3x + 4y - m = 0 bằng 1/5

tìm số phức z thỏa mãn điều kiện